拉普拉斯变换

对于复值函数$f(t)$,若$\int_0^{\infty } f(t) \epsilon ^{-s t} \, dt$在复平面上的某一个区域$D(s\in D)$ 内收敛于$F(s)$,则称：

$F(s)=\int_0^{\infty } f(t) \epsilon ^{-s t} \, dt$

为函数的拉普拉斯变换（Laplace）变换（简称拉氏变换），记为

$F(s)=L[f(t)]$

在科技领域，一般是对时间为自变量的函数进行拉普拉斯变换，即在t < 0时，函数无意义或不需要考虑。

线性性质

设$\alpha _1,\alpha _2$为常数，
$F_1(s) = L[f_1(t)] , F_2(s) = L[f_2(t)]$ 则
$L[\alpha _1f_1(t) + \alpha _2f_2(t)] = \alpha_1F_1(s) + \alpha_2F_2(s)$

时移性质

若 $L[f(t)] = F(s)$，对于$t_0 > 0$，有$L[f( t-t_0 )] = e^{-st_0} F(s)$

频移性质

若 $L[f(t)] = F(s)$，则对任意常数a，有
$L[e^{at}f(t)] = F(s-a)$

微分性质

若 $L[f(t)] = F(s)$，且$f'(t)也是象原函数，则$
$L[f'(t)] = sF(s) - f(0^+)$
这里，$\lim_{t\to 0^+}f( t)$

若 $L[f(t)] = F(s)$，则
$L[ (-t)^n f(t)] = F^{(n)}(s) , n=0,1,2,...$

积分性质

若 $L[f(t)] = F(s)$，则
$L[\int_0^t f(\tau ) \, d\tau] = \frac{1}{s}F(s)$

若 $L[f(t)] = F(s)$，积分$\int_s^\infty F(u ) \, du$收敛，则$\frac{f(t)}{t}$的拉普拉斯变换存在，且

$L[\frac{f(t)}{t}] = \int_s^\infty F(u ) \, du$

极限性质

1.初值关系
若$L[f(t)] = F(s)$，则$f(0^+) = \lim_{s\to \infty} sF( s)$

2.终值关系
若$L[f(t)] = F(s),且f(+\infty)存在,sF(s)$的所有奇点在半平面$Re(s) < \sigma _0内，其中\sigma是f(t)的增长指数$，则

$f(+\infty) = lim_{s\to0}sF(s)$